somatório com fatores de Grceli.

 Esta lista de séries matemáticas contém fórmulas para somas finitas e infinitas. Ela pode ser usada em conjunto com outras ferramentas para avaliar somas.

• Aqui, considera-se que  vale 
•  é um polinômio de Bernoulli.
•  é um número de Bernoulli, e aqui, 
•  é um número de Euler.
•  é a função zeta de Riemann.
•  é a função gama.
•  é uma função poligama.
•  é um polilogaritmo .
•  é o coeficiente binomial
•  denota a exponencial de 

sendo p = progressão,

k, w, h = números reais.

 [pk/ pw] / ph] =

Os somatórios são úteis para expressar somas arbitrárias de números, por exemplo em fórmulas. Se queremos representar a fórmula para se calcular a média aritmética de ${\displaystyle n}$ números, teremos a seguinte expressão:

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},}$ / [pk/ pw] / ph] =

onde ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}$ é um dada sequência de ${\displaystyle n}$ números.^[3]

Algumas propriedades

Sejam ${\displaystyle \{x_{k}\}_{k\in \mathbb {N} },}$ ${\displaystyle \{y_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ sequências (por exemplo, de números reais) e ${\displaystyle \alpha }$ um escalar. Então, temos:

1. ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}\alpha x_{i}=\alpha \sum _{i=m}^{n}x_{i}}$^[3] / [pk/ pw] / ph] =

2. ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}(x_{i}\pm y_{i})=\sum _{i=m}^{n}x_{i}\pm \sum _{i=m}^{n}y_{i}}$^[3]/ [pk/ pw] / ph] 

3. ${\displaystyle \sum _{i=m}^{m}x_{i}=x_{m}}$ ^/ [pk/ pw] / ph] 

4. ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}=\sum _{i=m}^{p}x_{i}+\sum _{i=p+1}^{n}x_{i},\quad \forall m\leq p\leq n}$^[3]/ [pk/ pw] / ph] 

5. ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}=\sum _{i=m+p}^{n+p}x_{i-p}}$^[3] / [pk/ pw] / ph] 

6. ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}(x_{i+1}-x_{i})=x_{n+1}-x_{m}}$ ^/ [pk/ pw] / ph] 

7. ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}\sum _{j=k}^{l}x_{i}y_{j}=\sum _{i=m}^{n}x_{i}\sum _{j=k}^{l}y_{j}}$ ^/ [pk/ pw] / ph] 

8. ${\displaystyle \left|\sum _{i=m}^{n}x_{i}\right|\leq \sum _{i=m}^{n}|x_{i}|}$ ^/ [pk/ pw] / ph] 

9. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}x_{2n}+\sum _{n=0}^{t}x_{2n+1}=\sum _{n=0}^{2t+1}x_{n}}$ ^/ [pk/ pw] / ph] 

10. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}\sum _{i=0}^{z-1}x_{z\cdot n+i}=\sum _{n=0}^{z\cdot t+z-1}x_{n}}$ ^/ [pk/ pw] / ph] 

11. ${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{2n}\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}-\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}b_{i}+b_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}a_{i}\right)}$^/ [pk/ pw] / ph] 

Nas propriedades acima, assumimos que as sequências ${\displaystyle \{x_{k}\}_{k\in \mathbb {N} },}$ ${\displaystyle \{y_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ pertencem a um espaço vetorial. Particularmente, na propriedade 8., ${\displaystyle |\cdot |}$ denota a norma (quando existe) definida neste espaço. Esta propriedade é uma extensão natural da desigualdade triangular. No caso do espaço usual dos números reais, ${\displaystyle |\cdot |}$ é a função valor absoluto.

Para uma sequência ${\displaystyle \{x_{i,j}\}_{(i,j)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }}$ é usual denotarmos somatórios duplos da seguinte forma:

$${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}:=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i,j}}$$

^/ [pk/ pw] / ph] 

Neste contexto temos as seguintes propriedades:

1. ${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}x_{i,j}:=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}x_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}x_{i,j}}$^/ [pk/ pw] / ph] 

2. ${\displaystyle \sum _{i=m+k}^{n}\sum _{j=m}^{i-k}a_{i,j}=\sum _{j=m}^{n-k}\sum _{i=j+k}^{n}a_{i,j}}$^/ [pk/ pw] / ph] 

Algumas propriedades envolvendo soma e produto podem ser generalizadas usando a notação de somatório e produtório. Dada uma sequência ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} },}$ o produtório é, usualmente, denotado por:

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}:=x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}}$$

 / [pk/ pw] / ph] 

Por exemplo, temos as propriedades:

1. ${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\ln x_{n}=\ln \prod _{n=s}^{t}x_{n}}$ / [pk/ pw] / ph] 

2. ${\displaystyle c^{\left[\sum _{n=s}^{t}x_{n}\right]}=\prod _{n=s}^{t}c^{x_{n}},{\mbox{onde}}~c>0.}$ / [pk/ pw] / ph] 

Número de termos do somatório

Dado o somatório:

$${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{x_{i}}}$$

 / [pk/ pw] / ph] 

O número de termos da expressão resultante será dado por ${\displaystyle t=n+1-m-r}$^[4][5], onde:

${\displaystyle t}$ é o número de termos do somatório expandido;

${\displaystyle n}$ é o índice final (ou limite superior);

${\displaystyle m}$ é o índice inicial (ou limite inferior);

${\displaystyle r}$ é o número de restrições as quais o intervalo ${\displaystyle [m,\ n]}$ está submetido.

Exemplos:

1) ${\displaystyle \sum _{i=1}^{5}2i}$ / [pk/ pw] / ph] 

O número de termos que expressão resultante terá é:

$${\displaystyle t=n+1-m-r=5+1-1-0}$$

${\displaystyle =5}$

ou seja, 5 termos:

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{5}2i=2(1)+2(2)+2(3)+2(4)+2(5)=2+4+6+8+10}$$

2) ${\displaystyle \sum _{i=0}^{7}ix+{\frac {2}{(i-2)(i-3)}}}$, para ${\displaystyle i\neq 2,\ 3}$.

Note que temos duas restrições: ${\displaystyle i\neq 2,\ 3}$. O número de termos que expressão resultante terá é dado por

$${\displaystyle t=n+1-m-r=7+1-0-2}$$

${\displaystyle =6}$

ou seja, 6 termos:

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{7}ix+{\frac {2}{(i-2)(i-3)}}={\Bigl (}{\frac {2}{(0-2)(0-3)}}{\Bigr )}+{\Bigl (}x+{\frac {2}{(1-2)(1-3)}}{\Bigr )}+{\Bigl (}4x+{\frac {2}{(4-2)(4-3)}}{\Bigr )}+{\Bigl (}5x+{\frac {2}{(5-2)(5-3)}}{\Bigr )}}$$

${\displaystyle +{\Bigl (}6x+{\frac {2}{(6-2)(6-3)}}{\Bigr )}+{\Bigl (}7x+{\frac {2}{(7-2)(7-3)}}{\Bigr )}}$

Observação: o número de termos do somatório não necessariamente é igual ao número de termos da expressão final simplificada. Além disso, tenha certeza que todas as ${\displaystyle r}$ restrições pertencem ao intervalo ${\displaystyle [m,\ n]}$, caso contrário, desconsidere-as (o que não ocorre na maioria dos casos).

Alguns somatórios de funções polinomiais

1. ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}1=n+1-m}$
2. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$ (Soma de uma progressão aritmética)
3. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$ (Número piramidal quadrado)
4. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$^[3]
5. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{4}=1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}}$^[3]
6. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{5}=1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +n^{5}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}}$^[3]
7. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{6}=1^{6}+2^{6}+3^{6}+\cdots +n^{6}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1)}{42}}}$^[3]
8. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}}$

Alguns somatórios de funções exponenciais

1. ${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x^{i}=x^{m}+x^{m+1}+x^{m+2}+\cdots +x^{n}={\frac {x(x^{n}-x^{m-1})}{x-1}}}$  / [pk/ pw] / ph] 
2. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}},}$ ${\displaystyle (a\neq 1)}$^[3] / [pk/ pw] / ph]